题目内容
【题目】已知函数(
)
(1)若是
的极值,求
的值,并求
的单调区间。
(2)若时,
,求实数
的取值范围。
【答案】(1),
的单调减区间为
,单调增区间为
.(2)
【解析】
(1)计算的导函数,结合极值,计算a,结合导函数与原函数单调关系,计算单调区间,即可。(2)法一:计算导函数,构造函数
,结合导函数,得到
的单调区间,计算范围,即可。法二 :构造函数
,结合导函数,得到原函数单调性,计算
,得到a的范围,即可。
(1)的定义域是
,
,
由是
的极值得
,得
.
时,由
,得
,
列表(列表的功能有两个:一是检验的正确性;二是求单调区间)得
负 | 0 | 正 | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
综上,,
的单调减区间为
,单调增区间为
.
(2)法一:因,
.
记,
则,且
,当
,
即时,
,
在
单调递增,
故时,
,则
,
则在
单调递增,
,符合。
当,即
时,则存在
,使得
时,
,
此时,,
在
单调递减,
时,
,不符。
综上,实数的取值范围是
.
法二:时,
,
等价于
,
记,
则,
记,
则,
故,
在
单调递减,
由洛必达法则得,
故,综上,实数
的取值范围是
.
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