Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2

2

，在y轴上截得线段长为2

3

．
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y=x的距离为

2

2

，①求圆P的方程；②若圆心P的纵坐标大于零，点M是直线l：x+y=5上的动点，MA，MB分别是圆P的两条切线，A，B是切点，求四边形MAPB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），圆的半径为r，根据垂径定理结合已知条件建立关于x、y、r的关系式，消去r化简整理得到y²-x²=1，即为圆心P的轨迹方程；
（2）①由点到直线的距离公式，列式化简得P的坐标满足|x-y|=1，结合P的轨迹方程联解得出P的坐标和半径r值，即可得到圆P的方程；
②由题意，此时圆P方程为x²+（y-1）²=3．由圆的切线性质，得到S_MAPB=|PA|•|MA|=

3

|MA|，从而当|MA|最小时，四边形MAPB的面积S_MAPB最小，再算出P到直线x+y-5=0距离，得出|MA|的最小值，进而可得四边形MAPB面积的最小值．

解答：解：（1）设P（x，y），圆的半径为r，由已知条件可得
∵圆P在x轴上截得线段长为2

2

，∴y2+(

2

)2=r²
同理可得：x2+(

3

)2=r²，
两式消去r，得y2+(

2

)2=x2+(

3

)2，即y²+2=x²+3
化简得：y²-x²=1，即为圆心P的轨迹方程；
（2）①∵圆心P（x，y）到x-y=0的距离d=

2

2

，
∴由点到直线的距离公式，得

|x-y|

2

=

2

2

，化简得|x-y|=1
所以

y2=x2+1 x-y=1

或

y2=x2+1 x-y=-1

，解之得

x=0 y=-1 r2=3

或

x=0 y=1 r2=3

∴圆P的方程为：x²+（y+1）²=3或x²+（y-1）²=3
②由于纵坐标大于零，可得P（0，1），圆P方程为x²+（y-1）²=3
由圆的切线的性质，得S_MAPB=|PA|•|MA|=

3

|MA|
∴当|MA|最得小值时，四边形MAPB的面积S_MAPB最小，
∵|MA|=

|MC|2-r2

=

|MC|2-3

，
P（0，1）到直线x+y-5=0距离为d=

|0+1-5|

2

=2

2

，等于|MC|的最小值
∴|MA|min=

|MC|min2-r2

=

5

，
由此可得四边形MAPB的面积的最小值为S_MAPB=

3

|MA|_min=

15

．

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程，并依此讨论四边形面积的最小值．着重考查了圆锥曲线的简单几何性质、动点轨迹方程的求法和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．