题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为
,右准线的方程为
分别为椭圆C的左、右焦点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过作斜率为
的直线l交椭圆C于M,N两点(点M在点N的左侧),且
,设直线AM,BN的斜率分别为
,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由离心率与准线方程列出方程组求出
,代入
,即可得解;(2) 设
,
,联立直线与椭圆方程,求出
、
,由
可得
,从而求出
代入
可得
,最后求出
.
(1)因为椭圆C的离心率为,所以
①,
因为椭圆C的右准线的方程为,
所以②,联立①②,解得
,
所以,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)设,
因为过作斜率为
的直线l交椭圆C于M,N两点,
所以,
由,得
,
所以,
因为,
所以.
因为,所以
,
即,
整理得,
所以,
又,
所以,
即,
即,
整理得.
因为直线AM,BN的斜率分别为,且
,
所以
.
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