题目内容
已知P(x1,y1)、Q(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,则y1·y2=-p2是直线PQ通过抛物线焦点的( )
| A．充分不必要条件 | B．充要条件 |
| C．必要不充分条件 | D．既不充分又不必要条件 |
B
当x1=x2时,显然为充要条件.
当x1≠x2时,设直线PQ的斜率为k,
若过焦点,则直线AB的方程为y=k(x-
),代入抛物线方程并化简得y2-
y-p2=0.
∴y1·y2=-p2.
若y1·y2=-p2,由于P、Q为抛物线上?的点,故y12=2px1,y22=2px2.
∴
.
从而直线AB的方程为y-y1=
(x-x1).
令y=0,得-y12+p2=2px-2px1.
又y12=2px1,∴x=,即直线AB过(,0)点.
综上分析知为充要条件.
当x1≠x2时,设直线PQ的斜率为k,
若过焦点,则直线AB的方程为y=k(x-
),代入抛物线方程并化简得y2-y-p2=0.∴y1·y2=-p2.
若y1·y2=-p2,由于P、Q为抛物线上?的点,故y12=2px1,y22=2px2.
∴
.从而直线AB的方程为y-y1=
(x-x1).令y=0,得-y12+p2=2px-2px1.
又y12=2px1,∴x=
,即直线AB过(,0)点.综上分析知为充要条件.
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