题目内容
7.已知命题p:实数x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}x>-1}\\{{x}^{2}-6x+8<0}\end{array}\right.$,命题q:实数x满足不等式2x2-9x+a<0(a∈R).(I)解命题p中的不等式组;
(Ⅱ)若p是q的充分条件,求a的取值范围.
分析 (Ⅰ)分别解出关于对数函数、二次函数的不等式,取交集即可;(Ⅱ)根据p是q的充分必要条件,得到关于a的不等式组,解出即可.
解答 解:(Ⅰ)由${log}_{\frac{1}{3}}^{x}$>-1,解得:0<x<3,
由x2-6x+8<0,解得:2<x<4,
综上:2<x<3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:p:2<x<3,
命题q:实数x满足不等式2x2-9x+a<0,
解不等式得:$\frac{a-\sqrt{81-8a}}{4}$<x<$\frac{a+\sqrt{81-8a}}{4}$,
由p是q的充分条件,
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{81-8a}}{4}≤2}\\{\frac{a+\sqrt{81-8a}}{4}≥3}\end{array}\right.$,解得:7≤a≤8.
点评 本题考查了解不等式组问题,考查充分必要条件,是一道基础题.
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