Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₂，a₃ ，a₄的值；
（2）求证数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，记T_n为数列{a_n}的前n项之积，求T_n 的值．

Answer 1

分析 （1）通过a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2）可知a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，通过a₁=3直接代入计算即可；
（2）通过（1）猜想a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$并用数学归纳法证明，代入计算可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2n-1}{2}$，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，利用累乘法计算可知结论．

解答 （1）解：∵a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2），
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵a₁=3，
∴a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
a₃ =2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{5}$，
a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=2-$\frac{5}{7}$=$\frac{9}{7}$；
（2）证明：由（1）猜想：a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\frac{2k+1}{2k-1}$，
∴a_k+1=2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=2-$\frac{2k-1}{2k+1}$=$\frac{2k+3}{2k+1}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{2n+1}{2n-1}-1}$=$\frac{2n-1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，
又∵T_n为数列{a_n}的前n项之积，
∴T_n =$\frac{3}{1}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{2n+1}{2n-1}$=2n+1．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．