Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．

求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（I）将代入，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程；

（II）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点到原点的距离.

解：（I）将代入，整理得，

所以直线的普通方程为.

由得，

将，代入，

得，

即曲线的直角坐标方程为.

（II）设，的参数分别为，.

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，

化简得，

由韦达定理得，

于是.

设，则

则.

所以点到原点的距离为.