[题目]已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间,(Ⅱ)如果对于任意的.恒成立.求实数的取值范围,(III)设函数. .过点作函数的图象的所有切线.令各切点的横坐标按从小到大构成数列.求数列的所有项之和的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（III）设函数，，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.

【答案】（1）增区间为；减区间为

（2）（3）

【解析】

试题分析：(1)求出函数的导函数,由导函数大于0求其增区间,导函数小于0求其减区间;
(2)构造辅助函数,把问题转化为求时

,然后对k的值进行分类讨论,求k在不同取值范围内时的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范围;
(3)把的解析式代入 ,求出函数的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列的所有项之和S的值.

试题分析：⑴

的增区间为；减区间为 .

⑵令,要使恒成立，只需当时，

,令，则对恒成立

在上是增函数，则

①当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；

②当时，在上有实根, 在上是增函数

则当时，，不符合题意；

③当时，恒成立，在上为减函数，

不符合题意

，即.

⑶

设切点坐标为，则切线斜率为

从而切线方程为

令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.

练习册系列答案

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.

二级滤芯更换频数分布表

二级滤芯更换的个数
频数

以个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率；

（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；

（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.

【题目】设数列是公比大于的等比数列，是其前项和,已知,且构成等差数列

（1）求数列的通项；

（2）令求数列的前项和.

【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【题目】设椭圆，右顶点是，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.

【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【题目】己知函数.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）是否存在整数使得函数的极大值大于零，若存在，求的最小整数值，若不存在，说明理由.

【题目】已知抛物线上的点到焦点的距离为．

（1）求，的值；

（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：