Question

(本小题满分14分)

如图，棱柱ABCD—的所有棱长都为2， ，侧棱与底面ABCD的所成角为60°，⊥平面ABCD，为的中点．

（Ⅰ）证明：BD⊥；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角DC的余弦值．

Answer 1

【解析】（I）棱柱ABCD—的所有棱长都为2，

    四边形ABCD为菱形， .  .......................................1分

又⊥平面ABCD, 平面ABCD，

 .                                 ..................................2分

又，平面，

平面，                           .......................3分

平面，

 BD⊥.                                    .......................................4分

（Ⅱ）连结

四边形ABCD为菱形，

      是的中点.                           .............................. 5分

        又点F为的中点，

        在中，，                    ................................6分

        平面，平面    

        平面                            .......................8分

（III）以为坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 侧棱与底面ABCD的所成角为60°，⊥平面ABCD．

 ，在中，可得

在中，.

得        ......................10分

设平面的法向量为

可设                               ..............................11分

又平面 

所以，平面的法向量为     .............................12分

,

二面角D——C为锐角，

故二面角D——C的余弦值是 .               ...........................14分