Question

9．如图所示，在三棱锥S-ABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，SA=2a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为（　　）

• A． $\frac{3a}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{21}}{7}$a
• C． $\frac{5a}{2}$
• D． $\frac{7a}{2}$

Answer 1

分析 运用余弦定理，求出AC，运用勾股定理求出SB，SC，再由余弦定理，求得cos∠SBC，再求sin∠SBC，再由面积公式，求得△SBC的面积，设点A到平面SBC有距离为d，再由V_S-ABC=V_A-SBC，运用体积公式，即可计算得到d．

解答 解：由于△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，
则运用余弦定理AC=2$\sqrt{3}$a，
SA⊥平面ABC，则SA⊥AB，SA⊥AC，则SB=2$\sqrt{2}$a，SC=4a，
则三角形SBC中，cos∠SBC=$\frac{8{a}^{2}+4{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2\sqrt{2}a•2a}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
则sin∠SBC=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
即有S_△SBC=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}a•2a•\frac{\sqrt{14}}{4}$=$\sqrt{7}$a²，
则设点A到平面SBC有距离为d，
则由V_S-ABC=V_A-SBC，
即有$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2a•2a•\frac{\sqrt{3}}{2}•2a$=$\frac{1}{3}$d•S_△SBC，
即有d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$a．
即有点A到平面SBC有距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$a．
故选：B．

点评 本题考查空间线面垂直的性质及运用，考查勾股定理和余弦定理、面积公式的运用，考查棱锥体积的转换和公式的运用，属于中档题．