Question

18．如图所示的三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PB=1，PA=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$．
（1）求其体积．（一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直）
（2）求点P到面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，利用三棱锥的体积公式，即可求其体积；
（2）利用等体积求点P到面ABC的距离．

解答 解：（1）∵三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PB=1，PA=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）△ABC的三边长为2，3，$\sqrt{7}$，∴cosB=$\frac{4+9-7}{2×2×3}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
设点P到面ABC的距离是h，则$\frac{1}{3}•\frac{3\sqrt{3}}{2}h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴h$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查点到平面的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．