题目内容
【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,且离心率为
,点
为椭圆上一动点,
内切圆面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为,过右焦点
的直线
与椭圆相交于
两点,连接
并延长分别交直线
于
两点,以
为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
和
.
【解析】试题分析:(1)首先设,然后根据离心率得到
与
的关系,再根据三角形面积取得最大值时点
为短轴端点,由此求得
的值,从而求得椭圆方程;(2)首先设出直线
的方程,并联立椭圆方程,然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标.
试题解析:(1)已知椭圆的离心率为,不妨设
,
,即
,其中
,
又内切圆面积取最大值
时,半径取最大值为
,由
,
由为定值,因此
也取得最大值,即点
为短轴端点,
因此,
,解得
,
则椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为
,
,
,联立
可得
,则
,
,
直线的方程为
,直线
的方程为
,
则,
,
假设为直径的圆是否恒过定点
,
则,
,
,
即,
即,
,
即,若
为直径的圆是否恒过定点
,即不论
为何值时,
恒成立,因此,
,
或
,即恒过定点
和
.
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