题目内容

【题目】已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m
(1)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0;
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围

【答案】
(1)解:把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0并化简得||x|﹣4|<2,

∴﹣2<|x|﹣4<2,

∴2<|x|<6,

故不等式的解集为(﹣6,﹣2)∪(2,6);


(2)解:∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,

∴f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立,

∵|x﹣4|+|x|≥|(x﹣4)﹣x|=4,

∴m的取值范围为m<4


【解析】(1)把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0可得不等式||x|﹣4|<2,解此不等式可得解集;(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,则f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立,只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.

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