Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．
（1）求f（0）的值和判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）是在R上的减函数；
（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．

令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），即对于定义域内的任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）是奇函数

（2）证明：任取实数x1、x2∈R且x1＜x2，这时，x2﹣x1＞0，

f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x1）=﹣f（x2﹣x1），

∵x＞0时f（x）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在R上是减函数

（3）解：由（II）可知：f（x）的最大值为f（﹣2），最小值为f（4）．

∵f（﹣1）=2，∴﹣f（1）=2，即f（1）=﹣2．

而f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=﹣4，∴f（﹣2）=﹣f（2）=4．

f（4）=f（2+2）=2f（2）=4f（1）=﹣8．

∴函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]

【解析】（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），可得f（0）．令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），即可得出函数f（x）的奇偶性．（2）任取实数x1、x2∈R且x1＜x2 ， 这时，x2﹣x1＞0，f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=﹣f（x2﹣x1），由x＞0时，f（x）＜0，即可证明．（3）由（II）可知：f（x）的最大值为f（﹣2），最小值为f（4）．利用f（﹣1）=2，可得f（1）=﹣2．即可得出．