Question

【题目】设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为 ．

Answer 1

【答案】（﹣3，﹣1]
【解析】解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定义域都为R，
把x换为﹣x得：1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，
变形得：1≤﹣f（x）+g（x）＜3，即﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，
则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]．
所以答案是：（﹣3，﹣1]
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)，还要掌握函数的奇函数(一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数)的相关知识才是答题的关键．