Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$|，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 运用向量的平方即为模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，再由向量的数量积的夹角公式计算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，两边平方可得，
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，即为$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²，
即有cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量的夹角的求法，注意运用向量的数量积的夹角公式和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．