题目内容
【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(I)结合离心率,得到a,b,c的关系,计算A的坐标,计算切线与椭圆交点坐标,代入椭圆方程,计算参数,即可。(II)分切线斜率存在与不存在讨论,设出M,N的坐标,设出切线方程,结合圆心到切线距离公式,得到m,k的关系式,将直线方程代入椭圆方程,利用根与系数关系,表示,结合三角形相似,证明结论,即可。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由椭圆的离心率为
知,
,
∴椭圆的方程可设为
.
易求得,∴点
在椭圆上,∴
,
解得,∴椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)当过点且与圆
相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为
,由(Ⅰ)知,
,
,∴
.
当过点且与圆
相切的切线斜率存在时,可设切线的方程为
,
,
∴,即
.
联立直线和椭圆的方程得,
∴,得
.
∵,
∴,
,
∴.
综上所述,圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,都有
.
在中,由
与
相似得,
为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某物流公司欲将一批海产品从A地运往B地,现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择,这三种工具的主要参考数据如下:
运输工具 | 途中速度( | 途中费用(元/ | 装卸时间( | 装卸费用(元/ |
汽车 | 50 | 80 | 2 | 200 |
火车 | 100 | 40 | 3 | 400 |
飞机 | 200 | 200 | 3 | 800 |
若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/,问采用哪种运输方式比较好,即运输过程中的费用与损耗之和最小.
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间
的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关
的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比,那么
为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
试销单价 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知.
(1)求出的值;
(2)已知变量具有线性相关关系,求产品销量
(件)关于试销单价
(元)的线性回归方程
;可供选择的数据:
,
;
(3)用表示用(2)中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值.当销售数据
对应的残差的绝对值
时,则将销售数据
称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个,求“好数据”个数
的分布列和数学期望
.
(参考公式:线性回归方程中的最小二乘估计分别为
,
)