题目内容
【题目】设椭圆
(
)的离心率为
，圆
与
轴正半轴交于点
，圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
，试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示
，结合三角形相似，证明结论，即可。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
，由椭圆的离心率为
知，
，
∴椭圆
的方程可设为
.
易求得
，∴点
在椭圆上，∴
，
解得
，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点
且与圆
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，
，
∴
，即
.
联立直线和椭圆的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点
，都有.
在
中，由
与
相似得，
为定值.
【题目】某物流公司欲将一批海产品从A地运往B地，现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，这三种工具的主要参考数据如下：
运输工具 | 途中速度（ | 途中费用（元/ | 装卸时间（ | 装卸费用（元/ |
汽车 | 50 | 80 | 2 | 200 |
火车 | 100 | 40 | 3 | 400 |
飞机 | 200 | 200 | 3 | 800 |
若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/
，问采用哪种运输方式比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
．
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)
（2）根据判断结果和表中数据，建立关的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
【题目】“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
试销单价 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量 |
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
．
（1）求出
的值；
（2）已知变量
具有线性相关关系，求产品销量
（件）关于试销单价
（元）的线性回归方程
；可供选择的数据：
，
；
（3）用
表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值．当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数
的分布列和数学期望
．
（参考公式：线性回归方程中
的最小二乘估计分别为
，
）
