题目内容
【题目】(本题满分12分)已知一次函数f(x)满足:f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 设, 若|g(x)|-af(x)+a≥0,求实数a的取值范围.
【答案】(1) f(x)=x+1.
(2) a≤0.
【解析】分析:(1)待定系数法即可求得f(x)的解析式;
(2)分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.
详解:(1)设f(x)=kx+b,则
解得:k=b=1, 故f(x)=x+1.
(2) 由(1)得:g(x)=|g(x)|-af(x)+a≥0可化为|g(x)|≥ax.
∵|g(x)|=∴由|g(x)|≥ax可分两种情况:
(I)恒成立
若x=0,不等式显然成立;
若x<0时,不等式等价于x-2≤a.
∵x-2<-2,∴a≥-2.
(II)恒成立
方法一[分离参数]:可化为a≤在(0, +∞)上恒成立。
令h(x)=,则h′(x)=
=
令t(x)=x-(x+1)ln(x+1), 则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0, +∞)上单调递减,
故t(x)<t(0)=0,于是h′(x)<0
从而h(x)在(0, +∞)上单调递减
又当x>0时,恒有h(x)= >0
于是a≤0.
方法二[分类讨论]:ln(x+1)≥axln(x+1)-ax≥0
令φ(x)= ln(x+1)-ax,则φ′(x)=-a=
当a≤0时, φ(x)在(0,+∞)上单调递增,故有φ(x)> φ(0)=0成立;
当0<a<1时, φ(x)在(0,-1)上单调递增, 在(
-1+∞)是递减.
取x=-1, 易知φ(
-1)=-2lna+a-
<0,故不合题意;
当a≥1时, φ(x)在(0,+∞)上单调递减,显然不合题意。
所以a≤0.
方法三[数形结合]:
根据函数图象可知a≤0.
综合(1)(2)得-2≤a≤0.
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【题目】某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)求a,b,c的值;
(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(3)某评估机构以指标(
,其中
表示
的方差)来评估该校开展安全教育活动的成效.若
≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.