题目内容
已知函数,(为常数),直线与函数、的图象都相切,且与函数图象的切点的横坐标为.
(1)求直线的方程及的值;
(2)若 [注:是的导函数],求函数的单调递增区间;
(3)当时,试讨论方程的解的个数.
(1) ; ;(2) , ;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)利用函数在处的导数,等于在处切线的斜率,所以先求,再求,直线的斜率就是,直线过点,代入得到直线的方程,直线与的图象相切,所以代入联立,得到值;(2)先求, 得到,再求,令,得到的取值范围,即求得函数的单调递增区间;(3)令,,再求,得到极值点,然后列表分析当变化时,,的变化情况,结合为偶函数,画出的函数图形,再画,当直线上下变化时,可以看出交点的变化,根据交点的不同,从而确定,再不同的范围下得到不同的交点个数.此问注意分类讨论思想的使用,不要遗漏情况.属于较难习题.
试题解析:(1)解:由,
故直线的斜率为,切点为,,即,,
所以直线的方程为. 3分
直线与的图象相切,等价于方程组只有一解,
即方程有两个相等实根,
所以令,解得. 5分
(2)因为,
由,
令,所以,
所以函数的单调递增区间是,. 8分
(3)令,,
由,令,得,,, 10分
当变化时,,的变化情况如下表:,