题目内容
如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.
（1）求的取值范围；（运算中
取
）
（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元，其余区域的造价为
元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
(1) 
,(2) 
.
解析试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.
试题解析：（1）由题意得，
4分
解得
即. 7分
（2）记“环岛”的整体造价为
元，则由题意得
， 10分
令
，则
，
由
，解得
或
， 12分
列表如下：
所以当
9 (9,10) 10 (10,15) 15 
－ 0 ＋ 0 
↘ 极小值 ↗ ，取最小值.
答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分
考点：利用导数求最值，解不等式.
练习册系列答案
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，
（
为常数），直线
与函数
、
的图象都相切，且
．
[注：
是
的单调递增区间；
时，试讨论方程
的解的个数．
.
求
的极值.
在
上为增函数。
，且
是函数
的一个极小值点.
的值；
上的最大值和最小值.
．
在x=
处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，证明
．
．
在（0，+∞）内的极值；
，
，且
形成的平面区域的面积．
，其中
是自然对数的底数，
.
的单调区间；
时，求函数
,
上的最小值；
,使方程
成立,求实数a的取值范围（其中e=2.71828是自然对数的底数）
．
时，求
上的值域；
在
上的最小值；
，都有
成立