Question

4．数列{a_n}中，a_n≠0，a₁=2且2a_na_n-1+a_n-1-a_n=0（n∈N^*），则a₁₅=$-\frac{2}{55}$．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以$\frac{1}{2}$为首项，以-2为公差的等差数列，求其通项公式后得答案．

解答 解：由2a_na_n-1+a_n-1-a_n=0，得
a_n-a_n-1=2a_na_n-1，又a_n≠0，
∴$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，即$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=-2（n≥2）$，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以$\frac{1}{2}$为首项，以-2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}-2（n-1）=\frac{5}{2}-2n=\frac{5-4n}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{5-4n}$．
则${a}_{15}=\frac{2}{5-4×15}=-\frac{2}{55}$．
故答案为：$-\frac{2}{55}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．