题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,底面
为正三角形,侧棱
底面
.已知
是
的中点,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:A1C∥平面;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)通过证明AD⊥平面BB1C1C,得出平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(2)连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE,易证 DE∥A1C,故而A1C∥平面AB1D;
(3)根据 求出棱锥的体积
(1)证明:由已知为正三角形,且D是BC的中点,所以
.
因为侧棱底面
,
,所以
底面
.
又因为底面
,所以
.而
,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)证明:连接,设
,连接
.
由已知得,四边形为正方形,则
为
的中点.
因为是
的中点,所以
.
又因为平面AB1D,
平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.
(3)由(2)可知A1C∥平面AB1D.,所以与
到平面AB1D的距离相等,
所以.
由题设及,得
,且
.
所以
,
所以三棱锥的体积为
.

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