Question

对于曲线C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
③当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜

5

2

其中正确命题的个数为

 

个．

Answer 1

分析：由

4-k＞0 k-1＞0 4-k≠k-1

，可得1＜k＜4且k≠

5

2

；若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，由此可判断结论．

解答：解：①由

4-k＞0 k-1＞0 4-k≠k-1

，可得1＜k＜4且k≠

5

2

，此时曲线表示椭圆，故①不正确；
②若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，即1＜k＜4，故②不正确；
③当1＜k＜4且k≠

5

2

，此时曲线表示椭圆，故③不正确；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4-k＞k-1＞0，所以1＜k＜

5

2

，故④正确，
所以正确命题的个数为1个．
故答案为：1．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查学生对椭圆、双曲线的标准方程的理解，属于中档题．