Question

对于曲线C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜

5

2

其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错，据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围，判断出③对；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．

解答：解：若C为椭圆应该满足

(4-k)(k-1)＞0 4-k≠k-1

即1＜k＜4 且k≠

5

2

故①②错
若C为双曲线应该满足（4-k）（k-1）＜0即k＞4或k＜1 故③对
若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-k＞k-1＞0则 1＜k＜

5

2

，故④对
故答案为：③④．

点评：椭圆方程的形式：焦点在x轴时

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦点在y轴时

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)；双曲线的方程形式：焦点在x轴时

x2

a2

-

y2

b2

=1；焦点在y轴时

y2

b2

-

x2

a2

=1．