题目内容
【题目】已知函数
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点x1、x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-4ln2.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)时,
仅有一个极值点;(ⅱ) 当
时,
无极值点;
(ⅲ)当时,
有两个极值点.(Ⅱ)详见解析
【解析】试题(Ⅰ)先求导数,再确定导函数零点情况,这需分类讨论:一次与二次的讨论,二次中有根与无根的讨论,两根情况分相等、一正一负、两不等正根,最后根据对应情况确定导函数符号变化规律,确定对应极值点个数;(Ⅱ)由(Ⅰ)先确定有两个极值点时,
的取值范围,以及
满足条件,再化简
为
的函数,最后根据导数确定对应函数单调性,根据单调性证明不等式.
试题解析:解:(Ⅰ)由得,
(ⅰ)时,
,
所以取得极小值,
是
的一个极小值点.
(ⅱ)时,
,令
,得
显然,,所以
,
在
取得极小值,
有一个极小值点.
(ⅲ)时,
时,即
在
是减函数,
无极值点.
当时,
,令
,得
当和
时
,
时,
,所以
在
取得极小值,在
取得极大值,所以
有两个极值点.
综上可知:(ⅰ)时,
仅有一个极值点;
(ⅱ) 当时,
无极值点;
(ⅲ)当时,
有两个极值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当时,
有极小值点
和极大值点
,且
是方程
的两根,所以
,
,
设,
,
所以时,
是减函数,
,则
所以得证.
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练习册系列答案
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表1:
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蒋 | 沈 | 韩 | 杨 | 朱 | 秦 | 尤 | 许 | 何 | 吕 | 施 | 张 |
表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏:
表2:
1:李 | 2:王 | 3:张 | 4:刘 | 5:陈 |
6:杨 | 7:赵 | 8:黄 | 9:周 | 10:吴 |
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________.