题目内容

已知函数.

(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程;

(Ⅱ) 若函数在区间上均为增函数,求的取值范围;

(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)因为,所以切线的斜率

       2分

,故所求切线方程为,即             4分

(Ⅱ)因为,又,所以当时,;当时, .

上递增,在上递减    5分

,所以上递增,在上递减      6分

在区间上均为增函数,则,解得    8分

(Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为.                 9分

因为当时原方程有唯一解,所以函数的图象在轴右侧有唯一的交点          10分

,且

所以当时,,函数单调递增;当时, ,函数单调递减.

处取得最小值.                                   12分

从而当时原方程有唯一解的充要条件是.     13分

考点:函数单调性最值

点评:第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率,进而得到直线方程,由导数大于零可求得增区间,导数小于零可得减区间,第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点,结合图像需求函数最值

 

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