题目内容

已知函数，.

(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程；

(Ⅱ) 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；

(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为,所以切线的斜率

       2分

又,故所求切线方程为,即             4分

(Ⅱ)因为,又,所以当时,；当时, .

即在上递增,在上递减    5分

又,所以在上递增,在上递减      6分

欲与在区间上均为增函数,则,解得    8分

(Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为.                 9分

因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点          10分

又,且，

所以当时,，函数单调递增；当时, ，函数单调递减.

故在处取得最小值．                                   12分

从而当时原方程有唯一解的充要条件是．     13分

考点：函数单调性最值

点评：第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率，进而得到直线方程，由导数大于零可求得增区间，导数小于零可得减区间，第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点，结合图像需求函数最值

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期T和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．
已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0时，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
3
π
，然后将所得图象向左平移一个单位得到y=f（x）的图象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求y=f（x）的解析式．
已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，记an=lg
xn+2xn-2
，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3．
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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