Question

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB²＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．

Answer 1

见解析.

(1)证明本题的关键是∠FBC＝∠FCB，需证：∠EAD＝∠FAB＝∠FCB,
需证：∠DAC＝∠FBC.
(2)证明本题的关键是证：△FBA∽△FDB.
（3）解本题的关键是求得∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°,∠D=30°.到此问题基本得以解决.
(1)证明：∵AD平分∠EAC.
∴∠EAD＝∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC＝∠FBC.
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC.
(2)证明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，∴＝，
∴FB²＝FA·FD.
(3)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.
∴∠D＝30°.∵BC＝6 cm，∴AC＝2cm，∴AD＝2AC＝4cm