Question

10．已知函数f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²，函数f（x）在x=1处的切线与y轴垂直．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=f′（x）-f（x），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定义域，再求导f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ax，从而可得f′（1）=0+e-a=0，从而解得；
（2）化简f（x）=e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²，f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex；从而可得g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{e}{2}$x²-ex；从而求导g′（x）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+e）；（x∈（0，+∞））；从而判断函数的单调性及最值．

解答 解：（1）f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ax，
∵函数f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，
∴f′（1）=0+e-a=0，
∴a=e；
（2）f（x）=e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²，f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex；
故g（x）=f′（x）-f（x）
=（e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex）-（e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²）
=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{e}{2}$x²-ex；
故g′（x）=$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$+ex-e
=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+e）；（x∈（0，+∞））
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故g_min（x）=g（1）=$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，属于中档题．