Question

20．已知锐角α，β满足：sinβ=3cos（α+β）sinα，且α+β≠$\frac{π}{2}$
（Ⅰ）求证：tan（α+β）=4tanα；
（Ⅱ）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据sinβ=sin[（α+β）-α]=3cos（α+β）sinα，展开化简可得要证的等式成立．
（Ⅱ）由：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=4tanα，可得tanβ=$\frac{3}{\frac{1}{tanα}+4tanα}$，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵sinβ=sin[（α+β）-α]=3cos（α+β）sinα，
即 sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
即 sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
所以：tan（α+β）=4tanα 成立．
（Ⅱ）由：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=4tanα，
化简得：tanβ=$\frac{3tanα}{1+{4tan}^{2}α}$=$\frac{3}{\frac{1}{tanα}+4tanα}$≤$\frac{3}{4}$，
∴tanβ的最大值为$\frac{3}{4}$，当且仅当tanα=$\frac{1}{2}$时取到．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于基础题．