题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等,求
的值;
若对
,都有
,求
的取值范围.
【答案】
【解析】
(1)求出切点坐标,写出切线方程,利用切线在两坐标轴上的截距相等,求得a即可.
(2)对a分类讨论,易判断当或当
时,
在区间
内是单调的,根据单调性得出结论,当
时,
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减, 故
,又因为
,
成立.而
的最大值为
,将最大值构造新函数,通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值,然后求解结果.
求导得
,所以
.
又,所以曲线
在
处的切线方程为
.
由切线在两坐标轴上的截距相等,得,解得
即为所求.
对
,
,所以
在
区间内单调递减.
①当时,
,所以
在区间
内单调递减,故
,由
恒成立,得
,这与
矛盾,故舍去.
②当时,
,所以
在区间
内单调递增,故
,即
,由
恒成立得
,结合
得
.
③当时,因为
,
,且
在
区间上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一
,使得
,且
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.
故,由
恒成立知,
,
,所以
.
又的最大值为
,由
得
,
所以.
设,则
,所以
在区间
内单调递增,于是
,即
.所以不等式
恒成立.
综上所述,所求的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,学习雷锋精神时全修好;单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计,具体数据如下:
损坏餐椅数 | 未损坏餐椅数 | 总 计 | |
学习雷锋精神前 | 50 | 150 | 200 |
学习雷锋精神后 | 30 | 170 | 200 |
总 计 | 80 | 320 | 400 |
(1)求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关?
(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关?
参考公式: ,