Question

过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

解析试题分析：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y²=4cx，所以F'为抛物线的焦点
因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，
属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a
又PF'⊥PF，|FF'|="2c" 所以|PF|="2b"
设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，
∴x="2a-c" ，过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，e=,选D.
考点：本试题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
点评：解决该试题的关键是双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，E为FP的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率