Question

【题目】为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：

阶梯级别	第一阶梯水量	第二阶梯水量	第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．

（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．则P（X=k）= ，可得：P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，

P（X=3）= ．

可得X分布列为：

X	0	1	2	3
P

EX=0× +1× +2× +3× =

（2）解：设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B ．

P（Y=k）= （k=0，1，2，…，10）．

设t= = ．

若t＞1，则k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．若t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），

k取6，或7的可能性比较大．

经过验证k=6时， = ＞1．∴n=6

【解析】【（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．利用P（X=k）= ，可得X的概率分布列及其数学期望．（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B ．P（Y=k）= （k=0，1，2，…，10）．设t= = ．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．
【考点精析】本题主要考查了茎叶图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．