Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）取AB中点E，连接CE，证明EFDC是平行四边形，可得DF∥CE，利用线面平行的判定可得结论；
（2）证明AF⊥DF，AF⊥A₁B，利用线面垂直的判定定理可得AF⊥平面A₁BD，从而可得结论．

解答：证明：（1）取AB中点E，连接CE，则
∵F是A₁B的中点，
∴EF∥AA₁，EF=

1

2

AA1
∵D是CC₁的中点，∴EF∥CD，EF=CD
∴EFDC是平行四边形
∴DF∥CE
∵DF?平面ABC，CE?平面ABC，
∴DF∥平面ABC；
（2）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，E是AB中点
∴CE⊥平面A₁AB，∴CE⊥AF，
∵DF∥CE，
∴AF⊥DF
∵AB=AA₁，F是A₁B的中点，∴AF⊥A₁B
∵A₁B∩DF=F
∴AF⊥平面A₁BD
∵BD?平面A₁BD
∴AF⊥BD

点评：本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．