Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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9

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲求函数f（x）的极值，只须求出a值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而可求出a值，先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．
（II）题中条件：“对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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恒成立”应用是解题的关键，须对字母a进行讨论：a＜0和a＞0．再分别求出函数f（x）的最大值，最后让最大值小于

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，得到a的不等式即可解得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
∴f′（1）=-a=-27，得a=27
∴f（x）=27x（x-2）²（x∈R）（2分）
令fn（x）=0得(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
又函数f（x）在(-∞，

2

3

)上为增函数，
在(

2

3

，2)上为减函数，
在（2，+∞）上为增函数． （4分）
∴f（x）在x=

2

3

时取得极大值，f(

2

3

)=32．
在x=2时取得极小值f（2）=0；（6分）
（Ⅱ）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)，知
当a＞0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是增函数，
在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

，得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

． （9分）
当a＜0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是减函数，
在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

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，∴-

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)． （12分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．