Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，则实数a的值为

 

．

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0求出x值，然后根据f'（x）=ax（x-2）²有极大值32，排除x=2，确定当x=

2

3

时，f（x）有极大值32，代入即可得到答案．

解答：解：f（x）=ax³-4ax²+4ax，
所以f′（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2）．
令f′（x）=0，得x=

2

3

或x=2．
因为f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
而当x=2时，f（2）=0，
所以当x=

2

3

时，f（x）有极大值32．
即

2

3

a(

2

3

-2)2=32，a=27．
故答案为：27

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数之间的关系，即当函数取到极值时一定有导函数等于0，反之不一定成立．