Question

已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．
（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的奇偶性的定义进行判断．
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义进行判断．
（Ⅲ）利用函数的单调性求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x|x|，此时函数f（x）为奇函数．
当a＜0时，f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=x|x|=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
此时函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
当a＜0时，f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，
此时函数f（x）的增区间为（-∞，

a

2

），（0，+∞），函数f（x）的减区间为[

a

2

，0]．
（Ⅲ）①当

a

2

≤-1即a≤-2时，f(-1)=-1-a，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，
当a≤-

5

2

时，f(-1)≥f(

1

2

)，此时函数f（x）的最大值为f（-1）=-1-a．
当-

5

2

＜a≤-2时，f(-1)＜f(

1

2

)，此时函数f（x）的最大值为f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
②当-1＜

a

2

≤0即-2＜a≤0，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，f(

a

2

)=-

a

2

?|

a

2

|=

a2

4

，f(

1

2

)-f(

a

2

)=

1

4

-

a

2

-

a2

4

=-

1

4

(a+1)2+

1

2

＞0，
所以f(

1

2

)＞f(

a

2

)，所以当-2＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
综上，当a≤-

5

2

时，函数的最大值为f（-1）=-1-a．
当-

5

2

＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．

点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，综合性较强．