题目内容

给出下列四个命题：
①若| $数学公式$ |+| $数学公式$ |=0，则 $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ；
②在△ABC中，若 $数学公式$ = $数学公式$ ，则O为△ABC的重心；
③若 $数学公式$ ， $数学公式$ 是共线向量，则 $数学公式$ • $数学公式$ =| $数学公式$ |•| $数学公式$ |，反之也成立；
④若 $数学公式$ ， $数学公式$ 是非零向量，则 $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ 的充要条件是存在非零向量 $数学公式$ ，使 $数学公式$ • $数学公式$ + $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ ．
其中，正确命题的个数是

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

B
分析：对于①，利用实数的性质即可进行判断；对于②，延长AO到E，使OE=AO，交BC于F，根据图形的对称性，欲证明O为△ABC的重心，只须证明AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线即可，结合向量的几何意义，也就是要证明 $\text{[math]}$ 即可．对于③，利用向量的数量积公式即可进行判断；对于④，利用向量的数量积与垂直的关系进行判断即可．
解答：

证明：①若| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=0，则| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=0，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
正确；
对于②：如图，延长AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
则 $\text{[math]}$ ．
而由 $\text{[math]}$ ，
有 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∴OE平分BC，即AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线．
同理可证，CO，BO所在的直线分别为AB，AC边上的中线．∴O为△ABC的重心．正确；
对于③：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是共线向量，则它们的夹角θ为0或π，则 $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ=±| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |，故③错；
④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零向量，若存在非零向量 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，说明向量（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 垂直，并不能得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故错．
故选B．
点评：本小题主要考查三角形重心、三角形重心的应用、向量加法的几何意义、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．