Question

17．若正实数x，y满足$\frac{4}{3x+1}+\frac{6}{y+4}$=1，则xy的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 15
• D． 18

Answer 1

分析 先求出xy=2x+y+6，再根据左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$．转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值．

解答 解：由$\frac{4}{3x+1}+\frac{6}{y+4}$=1，得：xy=2x+y+6，
由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，
令xy=t²，即 t=$\sqrt{xy}$＞0，可得t²-2$\sqrt{2}$t-6≥0．
即得到（t-3$\sqrt{2}$）（t+$\sqrt{2}$）≥0可解得 t≤-$\sqrt{2}$，t≥3$\sqrt{2}$．
又注意到t＞0，故解为 t≥3$\sqrt{2}$，
所以xy≥18．
故选：D．

点评 本题主要考查了用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．