题目内容
7.函数y=sin2x+2cosx+1的值域是[-1,3].分析 本题中含有两个名的三角函数,需要统一,可以借助三角部分存在的恒等式sin2x+cos2x=1转化.
解答 解:y=sin2x+2cosx+1=1-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+3,
∵-1≤cosx≤1,
∴-2≤cosx-1≤0,
两边平方,得0≤(cosx-1)2≤4,∴-4≤-(cosx-1)2≤0,
∴-1≤-(cosx-2)2+3≤3,
∴该函数的值域为[-1,3].
故答案为:[-1,3].
点评 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的,其类型依解析式的特点分可分三类:
(1)求常见函数值域;
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;
(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
2.通常求函数值域如下方法:
①直接法; ②配方法; ③逆求法(反求法); ④换元法; ⑤三角有界法;
⑥基本不等式法; ⑦单调性法; ⑧数形结合; ⑨导数法
练习册系列答案
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17.若正实数x,y满足$\frac{4}{3x+1}+\frac{6}{y+4}$=1,则xy的最小值是( )
A. | 9 | B. | 12 | C. | 15 | D. | 18 |