Question

18．当x∈[0，+∞）时，下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A． $\sqrt{{x}^{2}+5}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+5}}$≥2
• B． x³+x+1≥e^x
• C． ln（x+1）≤x
• D． 1-$\frac{1}{2}$x²≤cosx

Answer 1

分析 作为选择题可由于排除法，对于A，令t=$\sqrt{{x}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，由对号函数的单调性，即可判断；
对于B，设f（x）=ln（1+x）-x，求出导数，判断单调性，即可得到结论；
对于D，令y=1-cosx-$\frac{1}{2}$x²，x≥0，求出导数，再由sinx-x的符号，即可得到结论．

解答 解：可运用排除法．
对于A．令t=$\sqrt{{x}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，则不等式的右边为t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{5}$，+∞）递减，即有t+$\frac{1}{t}$≥$\frac{6\sqrt{5}}{5}$＞2成立；
对于C，设f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$≤0恒成立，f（x）在[0，+∞）递减，
即有f（x）≤f（0）=0，则C恒成立；
对于D，令y=1-cosx-$\frac{1}{2}$x²，x≥0，y′=sinx-x，由sinx-x的导数为cosx-1≤0，
则sinx-x≤0，即有函数y在[0，+∞）递减，则有y≤0，则D恒成立．
故选B．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意运用导数判断单调性，考查运算和判断能力，属于中档题和易错题．