Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求证：平面；

（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可证平面，从而得出，由及为的中点，推出，即可得证平面；（Ⅱ）依题意，平面，，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，得出，，，，，，，由为平面的一个法向量，再根据，即可得出，从而得证；(Ⅲ) 求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，根据，即可求出与平面所成角的正弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，

∴.

∵，，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，为的中点，

∴.

∵，

∴平面.

（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，

以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得，，，，，，.

∵平面的一个法向量，，

∴，即.

∵平面，

∴平面.

（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.

由，，得

令，得，，即.

设与平面所成角为，

∵，

∴.

∴与平面所成角的正弦值为.