Question

2．已知函数$f（x）=（{m^2}-m-1）{x^{{m^2}-2m-3}}$是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，${（a+1）^{\frac{1}{m}}}＜{（3-2a）^{\frac{1}{m}}}$，则实数a的取值范围为[-1，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 运用幂函数的定义，可得m²-m-1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．

解答 解：由幂函数定义可知：m²-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，
当m=2时，m²-2m-3=4-4-3＜0，符合题意，
当m=-1时，m²-2m-3=1+2-3=0，不符合题意
则m=2，
∵${（a+1）^{\frac{1}{m}}}＜{（3-2a）^{\frac{1}{m}}}$，
∴$（a+1）^{\frac{1}{2}}$＜$（3-2a）^{\frac{1}{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{3-2a≥0}\\{a+1＜3-2a}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜$\frac{2}{3}$，
故实数a的取值范围为[-1，$\frac{2}{3}$），
故答案为：[-1，$\frac{2}{3}$），

点评 本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．