题目内容
【题目】已知函数,
.
,e为自然对数的底数.
(1)如果函数在(0,
)上单调递增,求m的取值范围;
(2)若直线是函数
图象的一条切线,求实数k的值;
(3)设,
,且
,求证:
.
【答案】(1)(2)1(3)见解析。
【解析】
(1)依题意h′(x)=ex﹣2mx≥0(0,+∞)上恒成立.即在(0,+∞)上恒成立.即求函数
的最小值即可;(2)设切点
,则切线方程为则
进而得到
,令
对函数求导得到函数的单调性和零点即可得到k值(3):要证
,只要证
,两边同时除以
令x2﹣x1=t,t>0,即证(t﹣2)et+t+2>0,利用
=(t﹣2)et+t+2,(t>0)单调性即可证明
:(1),
要使在
上单调递增,则
在
上恒成立.
∴,∴
,令
,
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增
∴当x=1时,有最小值为
,∴
(2)∵,∴
,设切点为
,则
∴,令
,
∴时,
,
单调递减,当k>1时,
,
单调递增
∴k=1时,,∴
时,k=1.∴实数k的值为1.
(3)要证
只要证,两边同时除以
得:
,令
得:
所以只要证:,令
∴,
,∴
即,∴原不等式成立.
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