题目内容
2．当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M．（1）求证：当a1=a2，b1=b2（a1，a2，b1，b2∈R）不同时成立时，f1（x）=a1cosx+b1sinx和f2（x）=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素；
（2）若f0（x）=a0cosx+b0sinx∈M，对任意t∈R，函数f0（x+t）的全体记为集合A，证明：A⊆M．
分析 （1）利用反证法证明即可；（2）代入表达式得到f0（x+t）=atcosx+btsint∈M，从而得到结论．
解答 （1）：反证法，假设f1（x）=f2（x）
（a1-a2）cosx+（b1-b2）sinx=0
M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，
（a1-a2）+（b1-b2）tanx=0，
∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{-a}_{2}=0}\\{{{b}_{1}-b}_{2}=0}\end{array}\right.$⇒a1=a2且b1=b2，
与a1，a2，b1，b2不同时相等矛盾；
（2）对于任意的t，
f0（x+t）
=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）
=a0（cosxcost-sinxsint）+b0（sinxcost+cosxsint）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint，
令a0cost+b0sint=at，b0cost-a0sint=bt，
则f0（x+t）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint
=atcosx+btsint∈M，
原命题得证．
点评 本题考查了反证法，元素和集合、集合和集合的关系，是一道中档题．
练习册系列答案
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12．定义在R上的偶函数f （x）满足：对任意的x1、x2∈（-∞，0]（ x1≠x2），有（x2-x1）[f （x2）-f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（ ）
| A． | f （-n）＜f （n-1）＜f （n+1） | B． | f （n+1）＜f （-n）＜f （n-1） | ||
| C． | f （n-1）＜f （-n）＜f （n+1） | D． | f （n+1）＜f （n-1）＜f （-n） |