题目内容
【题目】已知某工厂每天的固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a元时,生产x件产品的销售收入为(元),
为每天生产x件产品的平均利润(平均利润=总利润/总产量).销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售,
,其中c为最高限价
,
为该产品畅销系数.据市场调查,
由当
是
的比例中项时来确定.
(1)每天生产量x为多少时,平均利润取得最大值?并求出
的最大值;
(2)求畅销系数的值;
(3)若,当厂家平均利润最大时,求a与b的值.
【答案】(1)每天生产量为400件时平均利润最大,最大值为200元;(2);(3)
,
.
【解析】
(1)先求出总利润=,依据(平均利润=总利润/总产量)可得
,利用均值不等式得最大利润;
(2)由已知得,结合比例中项的概念可得
,两边同时除以
将等式化为
的方程,解出方程即可;
(3)利用平均成本
平均利润
,结合厂家平均利润最大时(由(1)的结果)可得
的值,利用
可得
的值.
(1)由题意得,总利润为.
于是
当且仅当即
时等号成立.
故每天生产量为400件时平均利润最大,最大值为200元.
(2)由可得
,
由是
的比例中项可知
,
即
化简得,解得
.
(3)厂家平均利润最大,生产量为件.
.
(或者)
代入可得
.
于是,
.
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