题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的极值点个数;
(2)若,证明
.
【答案】(1)2个(2)详见解析
【解析】
(1)由是奇函数,把问题转化成
的极值点个数问题,求出
,把
的正负问题转化成
正负来处理,求出
,判断
的单调性,结合函数零点判断方法即可判断在区间
上存在唯一的
使
.在
上不存在
使得
,问题得解。
(2)利用(1)中的结论可知:在区间
内恒成立.令
,可将问题转化成
,问题得证。
解:(1)因为为奇函数,其图像关于原点对称,所以只需考虑
上的极值点个数,
,
时,
.
令,
,
∴当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
∴.
取,
,
∴在区间上存在唯一的
使
.
∴在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
又为奇函数,
∴在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴的极值点共2个.
(2)由(1)可知在区间
内单调递减,且
恒成立.
∴时,
,
即得.
又令,
得.
∴
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目