题目内容

1.(1)求直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$与圆ρ=2ccosθ(c>0)相切的条件;
(2)求曲线θ=0,$θ=\frac{π}{3}({ρ≥0})$和ρ=4所围成图形的面积.

分析 (1)直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$,化为ax+by=1,圆ρ=2ccosθ(c>0)化为ρ2=2cρcosθ,利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程.利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出.
(2)曲线θ=0,$θ=\frac{π}{3}({ρ≥0})$和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形.利用扇形的面积计算公式即可得出.

解答 解:(1)直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$,化为ax+by=1,圆ρ=2ccosθ(c>0)化为ρ2=2cρcosθ,
化为x2+y2=2cx,配方为:(x-c)2+y2=c2.可得圆心(c,0),半径r=c.
∵直线与圆相切,
∴$\frac{|ac-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=c,化为b2c2+2ac=1.
(2)曲线θ=0,$θ=\frac{π}{3}({ρ≥0})$和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形.
∴$S=\frac{1}{2}×{4}^{2}×\frac{π}{3}$=$\frac{8π}{3}$.

点评 本题考查了圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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