题目内容
3.如图,双曲线y=$\frac{2}{x}$(x>0)经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC=90°,OC平分OA与x轴正半轴的夹角,AB∥x轴,将△ABC沿AC翻折后得△AB′C,B′点落在OA上,则四边形OABC的面积是2.分析 延长BC,交x轴于点D,设点C(x,y),AB=a,由角平分线的性质得,CD=CB′,则△OCD≌△OCB′,再由翻折的性质得,BC=B′C,根据反比例函数的性质,可得出S△OCD=$\frac{1}{2}$xy,则S△OCB′=$\frac{1}{2}$xy,由AB∥x轴,得点A(x-a,2y),由题意得2y(x-a)=2,从而得出三角形ABC的面积等于$\frac{1}{2}$ay,即可得出答案.
解答 解:延长BC,交x轴于点D,
设点C(x,y),AB=a,
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角,
∴CD=CB′,△OCD≌△OCB′,
再由翻折的性质得,BC=B′C,
∵双曲线y=$\frac{2}{x}$(x>0)经过四边形OABC的顶点A、C,
∴S△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1,
∴S△OCB′=$\frac{1}{2}$xy=1,
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD,
∴点A、B的纵坐标都是2y,
∵AB∥x轴,
∴点A(x-a,2y),
∴2y(x-a)=2,
∴xy-ay=1,
∵xy=2
∴ay=1,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$ay=$\frac{1}{2}$,
∴SOABC=S△OCB′+S△AB'C+S△ABC=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=2.
故答案为:2.
点评 本题是一道反比例函数的综合题,考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质,难度偏大.
练习册系列答案
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