Question

（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为圆上一点，
和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，
交圆于，若，，则=        .

Answer 1

试题分析：解：连接AC、AB、OC，

∵PT与圆O相切于点C，∴OC⊥PT，同理可得BT⊥AB，四边形OBTC中，∠OCT=∠OBT=90°，∴∠COB+∠CTB=180°，可得∠COB=180°-120°=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，可得∠OBC=60°，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，，Rt△ABC中，AB=4，可得AC=ABsin60°=2 ∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠CBA=60°∵AP⊥PC，∴Rt△PAC中，PC=ACcos60°=∵PC与圆O相切于点C，PQB是圆O的割线，∴PQ•PB=PC²=3，故答案为：3
点评：本题借助于圆的切线和含有60°的直角三角形，求切线长的值，着重考查了直角三角形中三角函数的定义、四边形内角和与圆中的比例线段等知识，属于基础题