Question

（本题满分14分）
对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中。
对自然数k，规定为{a_n}的k阶差分数列，其中。
（1）已知数列{a_n}的通项公式，试判断是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足，求数列{a_n}的通项公式。
（3）对（2）中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得对一切自然都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由。

Answer 1

（1）根据给定的新定义来分析得到结论。
（2）
（3）存在等差数列，b_n=n，使得对一切自然都成立。

试题分析：解：（1）
是首项为4，公差为2的等差数列

是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列
（2），即，即


猜想：
证明：i）当n=1时，；
ii）假设n=k时，时，
结论也成立
∴由i）、ii）可知，
（3），即

∴存在等差数列，b_n=n，使得对一切自然都成立。
点评：解决该试题的关键是利用数列的定义以及等差数列的概念结合得到结论，属于基础题。